Mam sześćdziesiąt lat i jestem nikomu niepotrzebna? To najlepsze, co mnie spotkało!
Zawsze wiedziałam, że dla kobiety nadchodzi wiek, gdy świat stawia na niej krzyżyk. Gdy przestaje być interesująca, pożądana, potrzebna. Gdy dzieci dorastają, wnuki zaglądają coraz rzadziej, a przyjaciółki dzwonią tylko od święta. Dla wielu to bolesne. Kurczowo trzymają się młodości, próbują udowodnić, że wciąż są użyteczne, że ktoś ich potrzebuje. Ja nie. Nie walczę. Bo niczego nie tracę. Zyskuję.
Nazywam się Wanda Nowak, mam sześćdziesiąt lat. Mieszkam w Łodzi, w małym, przytulnym mieszkaniu, które urządziłam sobie, gdy przeszłam na emeryturę. I wiecie co? Nie cierpię. Cieszę się życiem. Nikt nie dzwoni do mnie dziesięć razy dziennie z narzekaniem, nikt nie żąda, żebym pilnie przyjechała, posiedziała z dziećmi, pożyczyła pieniędzy lub wysłuchała cudzych żali. To nie samotność. To wolność.
Przez lata byłam „ta, na której można polegać”. Słuchałam cudzych skarg, wchodziłam w cudze dramaty, pożyczałam grosze, których sama nie miałam w nadmiarze. Ludzie przychodzili nie dlatego, że chcieli mnie zobaczyć, ale dlatego, że wiedzieli – nie odmówię. Zawsze byłam „zapasowym lotniskiem”, cichym portem, wytartą poduszką, w którą można się wypłakać. Lecz gdy sama miałam trudny czas – w odpowiedzi słyszałam ciszę. Żadnego „trzymaj się”, żadnego „jestem przy tobie”. Tylko pustka.
I w pewnym momen# 量子理论 第7章 自旋的天空
## 7.1 矩阵力学与自旋
### 7.1.1 泡利自旋矩阵
电子自旋有三个分量$S_x$、$S_y$、$S_z$。实验表明，每个自旋分量的取值都是$\pm \frac{\hbar}{2}$。
由于$\hat{S}_x$、$\hat{S}_y$、$\hat{S}_z$的本征值都是$\pm \frac{\hbar}{2}$，所以其矩阵形式应该满足本征方程：
$$
\hat{S}_z|S_z, \pm\rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|S_z, \pm\rangle
$$
由于自旋只有两个取值，$\hat{S}_z$可以在本征态$|+\rangle$、$|-\rangle$展开的二维空间中表示为一个$2 \times 2$的矩阵，即
$$
\hat{S}_z = \left(
\begin{array}{cc}
\langle +|\hat{S}_z|+\rangle & \langle +|\hat{S}_z|-\rangle \\
\langle -|\hat{S}_z|+\rangle & \langle -|\hat{S}_z|-\rangle \\
\end{array}
\right) = \frac{\hbar}{2}\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right) = \frac{\hbar}{2}\sigma_z
$$
泡利定义了三个泡利矩阵（Pauli matrices）来代表自旋：
$$
\sigma_x = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right),\quad
\sigma_y = \left(
\begin{array}{cc}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{array}
\right),\quad
\sigma_z = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right)
$$
因此有：
$$
\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2}\sigma_x,\quad
\hat{S}_y = \frac{\hbar}{2}\sigma_y,\quad
\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z
$$
所以自旋算符的对易关系可以通过泡利矩阵的对易关系来描述：
$$
[\sigma_x, \sigma_y] = 2i\sigma_z,\quad
[\sigma_y, \sigma_z] = 2i\sigma_x,\quad
[\sigma_z, \sigma_x] = 2i\sigma_y
$$
即：
$$
[\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z,\quad
[\hat{S}_y, \hat{S}_z] = i\hbar \hat{S}_x,\quad
[\hat{S}_z, \hat{S}_x] = i\hbar \hat{S}_y
$$
### 7.1.2 自旋态的矩阵表示
电子自旋可以表示为一个二维复向量：
$$
|\psi\rangle = \left(
\begin{array}{c}
\psi_+ \\
\psi_- \\
\end{array}
\right) = \psi_+|+\rangle + \psi_-|-\rangle
$$
归一化条件：
$$
\langle \psi|\psi\rangle = |\psi_+|^2 + |\psi_-|^2 = 1
$$
### 7.1.3 自旋算符的矩阵表示
1. **自旋平方算符**：
$$
\hat{S}^2 = \hat{S}_x^2 + \hat{S}_y^2 + \hat{S}_z^2 = \frac{3}{4}\hbar^2 \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) = \frac{3}{4}\hbar^2 I
$$
2. **升降算符**：
$$
\hat{S}_+ = \hat{S}_x + i\hat{S}_y = \hbar \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right),\quad
\hat{S}_- = \hat{S}_x – i\hat{S}_y = \hbar \left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)
$$
3. **任意方向的自旋算符**：
方向$\vec{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$的自旋算符为：
$$
\hat{S}_n = \vec{n} \cdot \hat{\vec{S}} = \frac{\hbar}{2}\vec{n} \cdot \vec{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left(
\begin{array}{cc}
\cos\theta & e^{-i\phi}\sin\theta \\
e^{i\phi}\sin\theta & -\cos\theta \\
\end{array}
\right)
$$
### 7.1.4 自旋态的时间演化
在磁场$\vec{B} = (0, 0, B)$中，电子的磁矩$\vec{\mu} = -\frac{e}{m_e}\hat{\vec{S}}$，哈密顿量为：
$$
H = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = -\frac{e\hbar B}{2m_e}\sigma_z
$$
薛定谔方程：
$$
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = H|\psi(t)\rangle
$$
解得：
$$
|\psi(t)\rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle = \left(
\begin{array}{cc}
e^{-i\omega t/2} & 0 \\
0 & e^{i\omega t/2} \\
\end{array}
\right)|\psi(0)\rangle
$$
其中$\omega = \frac{eB}{m_e}$为拉莫频率（Larmor frequency）。
## 7.2 自旋的几何表示
### 7.2.1 自旋在量子态空间中的表示
自旋的纯态可以用布洛赫球（Bloch sphere）表示：
$$
|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|-\rangle
$$
布洛赫球的坐标为：
$$
\vec{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)
$$
### 7.2.2 自旋相干态
自旋相干态（spin coherent state）定义为：
$$
|\theta, \phi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|+\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|-\rangle
$$
## 7.3 自旋与磁场的相互作用
### 7.3.1 自旋磁矩
电子的自旋磁矩为：
$$
\vec{\mu} = -g\frac{e}{2m_e}\hat{\vec{S}}
$$
其中$g \approx 2$为朗德$g$因子（Lande g-factor）。
### 7.3.2 自旋在磁场中的进动
自旋在磁场中的哈密顿量为：
$$
H = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = \frac{g e \hbar}{4 m_e} \vec{B} \cdot \vec{\sigma}
$$
自旋的期望值随时间演化满足：
$$
\frac{d}{dt}\langleZrozumiałam, że wreszcie mogę oddychać pełną piersią, bez ciągłego poczucia obowiązku wobec innych – i to jest najpiękniejsze, co mnie spotkało.
